下面是小编为大家整理的“两个平面垂直及判定”教学实录与反思,供大家参考。
“两个平面垂直及判定”教学实录与反思 作
者：
刘健
作者简介：
刘健，沛县教研室（221600）.
原发信息：
《中学数学月刊》(苏州)2016 年第 20169 期 第 6-9 页
内容提要：
以“两个平面垂直及判定”一课为例，分析了授课对象、教材内容、教学目标以及教学重难点，并详细记叙课堂教学的过程.进而回顾教学设计的立意，并对教学进行了反思.
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键
词：
两个平面垂直/判定/教学实录/反思
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2016 年 12 期
一、基本情况
1.授课对象
学生来自四星级重点高中普通班，基础相对较好，由于我市近年大力推广课堂教学模式“学讲方式”的改革，学生的自主学习、合作学习的能力，推理及运算求解能力都有不同程度的提高.
2.教材分析
所用教材为《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修 2）》（苏教版），“两个平面垂直及判定”为第 1 章的“1.2.4 平面与平面的位置关系”第 2 节内容.由于空间向量引入了教材，对二面角的要求也相对降低（与大纲本比较），只要让学生感知二面角是怎么形成的，体会在什么情况下两个平面互相垂直，从而引出两个平面垂直的定义，因此，两个平面垂直的定义（二面角的平面角）是本节课的难点，两个平面垂直的判定既是本节课的难点，又是本节课的重点.教学中要引导学生类比平面角的形成，体会二面角是如何形成的，通过实例让学生体会平面与平面垂直所具有的特殊性，感知平面与平面垂直判定定理的合理性（科学性），从而促进学生能正确地理解和应用定理.
教学目标 （1）经历由平面角的定义类比得出二面角的形成过程，感知为何能用二面角的平面角来刻画二面角的大小，体会、感受数学的发现之美；（2）感受并体会两个平面垂直判定定理的合理性，理解两个平面垂直的判定定理；（3）能用两个平面垂直的判定定理证明简单的问题.
教学重点 引导学生感知两个平面垂直的判定定理的合理性，导出两个平面垂直的判定定理.
教学难点 创设情境，引导学生建构由平面角的定义类比得出二面角的形成过程及用二面角的平面角刻画二面角的大小，导出两个平面垂直的判定定理.
二、教学过程
·活动 1——探究二面角的有关概念
师：大家知道两个平面的位置关系有两种：两平面平行、两平面相交.上一节课我们学习并研究了两个平面平行的问题，今天我们重点研究两个平面相交的情况.请大家思考讨论后回答如下几个问题（分步投影）.
问题 1 直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线.平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分应该如何命名？
生：平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分都叫半平面.
师：说得好！（显示图 1）
问题 2 将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角，将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形是什么图形？你能给这个图形进行定义吗？
经过充分讨论，第 1 组的学生代表发言.
生：将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形是二面角.二面角可以这样定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
师：说得不错！下面给出二面角的定义：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面（图 2）.
师：类比平面角的符号表示，二面角也可用符号表示.一般地，把棱为AB，面为α，β的二面角记作二面角α-AB-β（图 3（1）），如图 3（2）所示的二面角也可记作二面角 C-AB-D.
·活动 2——探究二面角的平面角
师：前面学过的两异面直线及直线与平面所成的角是通过什么来定义的？把门打开，门和墙构成二面角；把书打开，相邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同，可得到不同的二面角，这些二面角的区别在哪里？（图 4）
经过充分讨论，第 2 组的学生代表发言.
生 1：两异面直线及直线与平面所成的角是通过直线与直线所成的角，即平面角来定义的！二面角开口的程度不一样，也就是说二面角的大小是随着两个半面位置的变化而变化的！
师：说得对，现在请大家思考讨论如下问题.
问题 1 假如我们设想也用一个平面角来反映二面角的两个半平面的相对倾斜度（即二面角的大小），那么平面角的顶点应选在何处？角的两边如何分布？
生 2：顶点应选在二面角的棱上，角的两边应分别选在两个半平面内！
师：好的.
问题 2 在二面角α-l-β的棱上取一点 O，过点 O 分别在二面角的两个面内任作一条射线 OA，OB，能否用∠AOB 来刻画二面角的张开程度（大小）？（图 5）
讨论后，第 3 组的学生代表发言.
生 1：不能，因为两条射线 OA，OB 的位置不同，∠AOB 大小不一样.
师：讲得好.
问题 3 在图 5 中如何调整 OA，OB 的位置，使∠AOB 被二面角α-l-β唯一确定？这个角的大小是否与顶点 O 在棱上的位置有关？
各小组讨论后，第 4 组的学生代表发言.
生 1：OA，OB 都应和棱 l 垂直，与顶点 O 在棱 l 上的位置无关.
师：说得很好！只要 OA，OB 和棱 l 垂直，无论顶点 O 在棱 l 上的什么位置，根据等角定理，都能证明∠AOB 的大小不变.（图 6）
师：上面所作的角叫做二面角的平面角，你能给二面角的平面角下一个定义吗？
学生讨论、交流完善后，形成如下结论.
生 2：以二面角棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
师：说得正确！如图 7，这正是二面角的平面角的定义，今后我们就是将二面角的平面角的大小作为二面角的大小，希望大家要记住它.大家再打开手中的课本，根据它们形成的二面角的大小，想一想下面的问题.
问题 4 当二面角的两个面重合时，二面角的大小为多少度？当二面角的两个半面合并成一个平面时，二面角的大小为多少度？一般地，二面角的平面角的取值范围如何？
大家充分讨论后，肯定了教材上的约定.
师：当二面角的两个面重合时，二面角的大小为 0°，当二面角的两个面合成一个平面时，二面角的大小为 180°，所以二面角α的大小范围是 0°≤α≤180°.
·活动 3——合作、探究、交流、展示（1）
师：请同学们解答下面的问题，或以学习小组为单位展开讨论，各小组选一名代表投影展示自己的解答结果.
问题 1 （例 1）如图（图略），在正方体 ABCD-A"B"C"D"中，找出下列二面角的平面角，并求出二面角的大小：（1）二面角 D"-AB-D；（2）二面角 A"-AB-D 的大小、.
评注 通过学生的交流和讨论，这一问题顺利解决.教师在巡视时重点引导学生如何找二面角的平面角.在学生交流及互评中，教师应重视学生书写的规范性，最后教师把完整的解答过程投影出来（由于篇幅所限，具体过程略）.
·活动 4——两个平面垂直的定义及判定定理
师：再来讨论、探究下面几个问题.
问题 1 当二面角的两个半平面所成的二面角多大时，两个半平面才给我们垂直的感觉？你认为对两个平面互相垂直应该怎么定义？
生 1（讨论后）：当二面角的两个半平面所成的二面角是直二面角时，两个平面互相垂直.应该这样来定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
师：对的.（投影定义及图 8）一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
师：延用直线与直线垂直的表示方法，如果平面α与平面β互相垂直，记作α⊥β.在画两个平面互相垂直时，要注意把表示两平面的平行四边形的水平边与竖直边画成垂直，这样直观性更强.
问题 2 教室的门在转动过程中它所在的平面是否和地面垂直？把书本立在桌面上，书面什么时候与桌面垂直？（教师在投影的同时，操作转动教室的门并和学生一起把课本立在桌面上让学生观察）
小组讨论，教师巡视.各小组讨论后，第 5 组的学生代表发言.
生 1：门所在的平面始终和地面垂直，因为门轴始终和地面垂直；当书脊与桌面垂直时，书面与桌面垂直.
师：好的.
问题 3 根据上面的两个实例，你认为两个平面垂直的判定定理应该是怎样的？怎么用符号语言来表示判定定理？
经过充分的讨论、交流后.
生 2：判定定理是：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；符号表示为“l⊥α，l β，则α⊥β”（图 9）.
师：很好！这就是我们今天要学习的两个平面垂直的判定定理（投影图 9）.
师：今后我们要想证明两个平面垂直，只要千方百计地在一个平面内找一条直线和另一个平面垂直就可以了，即要证明平面与平面垂直，只要证明直线与平面垂直；而要证明直线与平面垂直又是通过证明直线与直线垂直来实现的，它体现了我们解决问题的一种常用思路：用已知的来解决未知的，用平面（二维）的解决立体（空间三维）的，即面面垂直 线面垂直 线线垂直.
·活动 5——基础自测
（1）判断：①如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β；②如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β；③如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β.
（2）填空题：①过平面α的一条垂线可作________个平面与平面α垂直；②过空间内一点可作________个平面与已知平面垂直；③过平面α的一条斜线，可作________个平面与平面α垂直.
说明 由于学生的基本素质较好，活动 5 完全由学生自己讨论，很快就获得了解决，这里不再赘述.
·活动 6——合作、探究、交流、展示（2）
问题 1 （例 2）如图 10，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点.求证：平面 PAC⊥平面 PBC.
师：请大家做一做，可以独立完成，也可以相互讨论.
说明 找几个学生用多媒体展示其证明的结果，并让学生对证明进行点评.教师巡视时针对学生存在的问题作适当点拨，并注意学生解题的规范性，最后再用多媒体投影完整的证明过程（略）.
变式引申 在三棱锥 P-ABC 中，（1）有几个直角三角形？（2）有几对线面垂直？（3）有几对面面垂直？你能说明平面 PAC 与平面 PAB 为什么不垂直吗？（留给学生课后思考讨论解决）
课堂小结、布置作业（略）.
三、回顾与反思
1.教学设计的立意
该教学设计采用课前把预习提纲（学案）先发给学生，在学生预习的基础上再上课.该知识模块是选修 2 的内容，在江苏省高考说明中是 B 级要求，高考考查以基础知识为主，综合性不强，考查的题型也属于容易题.尽管这样，立体几何仍然是学生学习的难点，很多学生怕学立体几何的现状还没有根本性的改变.究其原因，一方面是学生空间想象能力（立体感）较弱，另一方面在教学中有些教师只注重知识的应用，忽视了知识的生成过程或对知识的生成重视不够.基于以上原因，确定了本节课的教学方法是以提纲的形式引领学生的课堂活动，以学生的活动（讨论、交流、探究）引领知识的发生发展过程，同时利用多媒体或教室里现有的实物（书本、课桌、门和墙面等）培养学生的立体感（空间想象能力）.知识的生成是本
节课的核心，让学生在交流、探究中发现和获取知识，同时兼顾知识的应用，在应用中初步理解和掌握知识.
2.教学反思
（1）注重教学方法的设计，让学生真正成为学习的主人
从二面角的形成到引出定义，都是通过问题引领的形式，在类比平面角的形成及定义的基础上，通过探究由学生自己给出；在探究二面角的大小时，通过 3 个问题的设计，让学生自己认识到用平面角来刻画二面角的合理性；在引入两个平面垂直的定义和判定定理时，通过实例（转动的门所在平面与地面、竖立在桌面上的书本和桌面）发现两个平面垂直的特性，从而加深了对定理的理解和应用.这样设计的目的，就是让学生自己通过探究获取知识，使学生真正成为学习的主人.
（2）注重知识的生成过程，使学生在“过程体验”中发现和解决问题
从二面角定义的给出、二面角的度量、两个平面垂直的定义及判定到例习题的解决，学生都是在小组合作学习的过程中，通过动脑（思考）、动口（讨论、议一议）、动手（板书或动笔练）及互评的方式自己去解决.这样能暴露学生的思维过程，展示学生的思维成果，发展学生解决数学问题的能力.
（3）注重学生学习的参与度，全面提高学生的学习能力
本节课从活动 1 到活动 6，通过精心而科学地设计问题，让全体学生都参与到学习中来.巡视中教师对问题只作必要的引导和点拨，改变了传统
课堂教师讲、学生听的习惯，人人参与去思考问题、发现问题直至解决问题，从而化解了学生学习的难点，改变了学生怕学立体几何的心理倾向，提高了学生学习的自信心.
（4）注重知识的应用，提高学生的学习效率
在现行立体几何教材中，线面平行与垂直、面面平行与垂直都是重点内容，教学要求高，也是高考的热点，如何学好这些内容也是广大教师都在探讨的问题.采用小组合作学习，让学生展示思维的过程，通过互评（头脑风暴），彻底搞清知识的纵横联系，暴露学习中存在的问题（如书写的规范性等），增强了学习的针对性，这样才能使广大师生从题海战术中解脱出来，从而也有助于学生学习成绩的提升.
（5）不足与尚需优化之处
本节课新概念多，授课时由于受到内容、时间与进度的限制，在知识的应用方面重视度略显不够.如对活动 6 中例 2 的处理还不能完全展开，没能给学生足够多的时间，通过小组讨论或学生动手、动脑对例 2 进行变式引申（教师投影给出）；对活动 3 中例 1 的处理，一方面考虑到江苏省高中数学教学对二面角的要求不高，另一方面受时间约束，对题目的举一反三也没能放手让学生完全展开，这也有待于在后续课堂教学中进行完善.
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