下面是小编为大家整理的数字信号处理习题答案：第二章,离散时间信号与系统,供大家参考。
第二章 离散时间信号与系统 2.1 有一任意线性系统,其输入为 n x ，输出为 n y ，证明：若对所有 n ， n x
=0，则 n y对所有 n 也必须为零。
证明：设 n x T n y ,因为对于所有 0 , n x n ,所以
0 n x n x n x
由于线性系统满足叠加原理，因此
0 n x T n x T n x n x T n x T n y
2.2 利用线性的定义[式(2.25)],证明:理想延时系统(例 2.1)和滑动平均系统(例 2.2)都是线性系统. 证明：
（1）理想延时系统 dn n x n x T n y
n x n x2 1, 使 dn n x n x T n y 1 1 1
dn n x n x T n y 2 2 2 ,
n y n yn n x n n x n x n x Td d2 12 1 2 1
理想延时系统是线性系统。
（2）滑动平均系统
11112 1MM kk n xM Mn x T n y
n x n x2 1, 使
1112 11 111MM kk n xM Mn x T n y
1122 12 211MM kk n xM Mn x T n y
, , 则
212 12 12 111MM kk n x k n xM Mn x n x T
= 212122 112 11 1MM kMM kk n xM Mk n xM M
= n y n y2 1
滑动平均系统也是线性系统。
2.3 对于下列系统，判断系统是否是（1）稳定的，（2）因果的，（3）线性的，（4）是不变的，和（5）无记忆的。
（a）
] [ ] [ ]) [ ( n x n g n x T
（ ] [n g 已知）
（b）nn kk x n x T0] [ ]) [ (
（c）00] [ ]) [ (n nn kk x n x T
（d）
] [ ]) [ (0n n x n x T
（e）
]) [ exp( ]) [ ( n x n x T
（f）
b n ax n x T ] [ ]) [ (
（g）
] [ ]) [ ( n x n x T
（h）
] 1 [ 3 ] [ ]) [ ( n u n x n x T
（a）解：
] [ ] [ ]) [ ( n x n g n x T
（ ] [n g 已知）
令 ] [ ]) [ (1 1n y n x T ， ] [ ]) [ (2 2n y n x T
由线性系统的定义 R , ,则 ]) [ ] [ (2 1n x n x T
]) [ ] [ ]( [2 1n x n x n g
] [ ] [2 1n y n y
系统是线性的
而 ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]) [ (0 0 0 0 0n n x n n g n n y n n x n g n n x T
系统是时变的
若 ] [n x 是有界输入序列，而 ] [n g 又是已知的，那么它们的乘积也是有界的，
即系统在有界输入有界输出（BIBO）意义下是稳定的。
由无记忆系统的条件，每一个 n 值上的输出 ] [n y 只决定于同一 n 值上的输入
] [n x ，显然该系统是无记忆的。
由因果系统的定义，输出序列在0n n 的值仅仅取决于输入序列在0n n 得值，可以判断系统是因果的。
（b）
解：nn kk x n x T0] [ ]) [ ( ，该系统实现了从以前某时刻0n 到 n 的序列求和。
显然是有记忆的。
令 ] [ ]) [ (1 1n y n x T ， ] [ ]) [ (2 2n y n x T
由线性系统的定义 R , ,则 ]) [ ] [ (2 1n x n x T
] [ ] [2 1n y n y
系统是线性的
又 kn nn kkk x n n x T0] [ ]) [ ( ，系统是时不变的。
系统的输出只由 n 时刻以前的序列值决定，那么系统是因果的。
当输入为有界序列时，虽然这个响应是有限的，然而却是无界的，不存在一个固定的有限正数yB ，使 yB n y ] [ 对于全部的 n 都成立，系统为不稳定系统。
（c）解：00] [ ]) [ (n nn kk x n x T ，该系统实现了从以前某时刻0n 到0n n 的序列求和。显然是有记忆的。
令 ] [ ]) [ (1 1n y n x T ， ] [ ]) [ (2 2n y n x T
由线性系统的定义 R , ,则 ]) [ ] [ (2 1n x n x T
] [ ] [2 1n y n y
系统是线性的 系统的输出不是只由 n 时刻以前的序列值决定，还与未来的序列值有关，那么该系统是非因果的。
当输入为有界序列时，虽然这个响应是有限的，然而却是无界的，不存在一个固定的有限正数yB ，使 yB n y ] [ 对于全部的 n 都成立，系统为不稳定系统。
又 kn n nn kkk x n n x T00] [ ]) [ ( ，系统是时不变的。
可以得出系统是：线性的、时不变的、不稳定的、非因果的、有记忆的。
（d）
解：
] [ ]) [ (0n n x n x T ,显然这是个理想的延迟系统，它是线性时不变的、稳定的、无记忆的因果系统。
（e）解：
]) [ exp( ]) [ ( n x n x T
令 ] [ ]) [ (1 1n y n x T ， ] [ ]) [ (2 2n y n x T
由线性系统的定义 R , ,则 ]) [ ] [ (2 1n x n x T
]) [ exp( ]) [ exp( ]) [ ] [ exp(2 1 2 1n x n x n x n x
] [ ] [2 1n y n y
系统是非线性的
而 ]) [ exp( ]) [ (0 0n n x n n x T ，该系统是时不变的。
输出序列在0n n 的值仅仅取决于输入序列在0n n 得值，可以判断系统是因果的 由无记忆系统的条件，每一个 n 值上的输出 ] [n y 只决定于同一 n 值上的输入] [n x ，显然该系统是无记忆的。
对于一个有界输入，指数预算不能确定一个输出的上界。综上，该系统是一个非线性、时不变、不稳定、无记忆的因果系统。
（f）解：
b n ax n x T ] [ ]) [ (
令 ] [ ]) [ (1 1n y n x T ， ] [ ]) [ (2 2n y n x T
由线性系统的定义 R , ,则 ]) [ ] [ (2 1n x n x T
b n x n x a ]) [ ] [ (2 1
] [ ] [2 1n y n y
系统是非线性的
b n n x n n x T ] [ ]) [ (0 0 ，该系统是时不变的
输出序列在0n n 的值仅仅取决于输入序列在0n n 得值，可以判断系统是因果的
由无记忆系统的条件，每一个 n 值上的输出 ] [n y 只决定于同一 n 值上的输入
] [n x ，显然该系统是无记忆的。
若 ] [n x 是有界输入序列，有界输入对应有界输出（BIBO），该系统是稳定的。
综上可知：该系统是非线性、时不变、稳定的、因果无记忆系统。
（g）
] [ ]) [ ( n x n x T ,仿照以上判据可知，显然是线性的、时不变的、稳定的、有记忆的、非因果的系统（这是因为在 0 n 时，系统需要有未卜先知的功能）
（h）
] 1 [ 3 ] [ ]) [ ( n u n x n x T
令 ] [ ]) [ (1 1n y n x T ， ] [ ]) [ (2 2n y n x T
由线性系统的定义 R , ,则 ]) [ ] [ (2 1n x n x T
] [ ] [ ] 1 [ 3 ] [ ] [2 1 2 1n x n y n u n x n x
系统是非线性的
] 1 [ 3 ] [ ] 1 [ 3 ] [ ]) [ (0 0 0 0 n n u n n x n u n n x n n x T ，该系统是时变的
输出序列在0n n 的值仅仅取决于输入序列在0n n 得值，可以判断系统是因果的
由无记忆系统的条件，每一个 n 值上的输出 ] [n y 只决定于同一 n 值上的输入] [n x ，显然该系统是无记忆的
由于 ] [n u 是已知序列，可以有以上的判据得出系统是非线性、时变的、因果、稳定、无记忆的、稳定的系统。
2.4
图 P2.4 中系统 T 已知是时不变的，当系统输入是 ] [1n x 、 ] [2n x 和 ] [3n x 时，系统的响应分别为 ] [1n y 、 ] [2n y 和 ] [3n x ，如图所示。
（a）确定系统是否为线性的。
（b）如果系统的输入] [n x是] [n 时，系统的响应] [n y是什么？ （c）对于任意的输入] [n x，系统的输出] [n y能唯一确定吗？
0121021 23 Tn] [1 nx0210 1 22Tn] [2 nx] [1 ny] [2 ny011 02-2 -13Tn] [3 nx] [3 ny432 3 4 图 P2.4 解：
（a）否。
（b）
] 5 [ 2 ] 6 [ 3 ] [ n n n h 。
（c）仅对给定信号（ ] [1n x 、 ] [2n x 和 ] [3n x ）的时移信号能得到确定的响应信号。
2.5 图 P2.5 中系统 L 已知是线性的，图中示出三种输出信号 n y 1 ， n y 2 和 n y 3 分别是对输入信号 n x 1 ， n x 2 和 n x 3 的响应。
... .. .. .. . ..LL n X 2 n X 32 1 1111 00nn. ... .. L n X 11 2 2 110 n....... n Y 21 1 111 02 33 n. ...... n Y 32 1 1102223 n...... n Y 11 1 0 2333n
图 P2.5
(a) 确定系统 L 能否是时不变的。
(b) 如果系统 L 的输入 n x 是 n ，系统响应 n y 是什么？ 解：
n x 和 n y 相对应的线性组合如下图所示：
... . . . .. ... . n x n x1 2 n y n y1 21 1 11222 2 00 a a. . .......... 21 23n y n yn y 21 23n x n xn x1 1 11 112222 2 300 b b （a）由图可知， b 由 a 移位所得，而 b不可能由 a移位得到
L 不是时不变的。
(b)
n x 为 n 时， n y 如 b所示。
2.6 对图 P2.6 中每一对序列,利用离散卷积求冲击响应为 n h 的线性时不变系统对输入 n x
的响应.
..0....1-1 0 1 2..n.....-212n. .0..n2-1 ...1n n x.....01 212-1 n h b..........3 45 n n x......... ....... . .0...12 3 4 7 16 11 n h1 c...... ...012 n n x...... .. .. .110-12 345 n h d图P2.61...1 n n x...0 121 n h a解:（a）
其它 02 11 2nnn y
(b) 其他 03 12 01 50 2nnnnn y
（c）
n y 如图
.0 1.. .2 3 4 5 6 7 89 10 1112 13 14 1516171819 20 2122123456432 2 2345 54321 n y （d）
如图
-2-1.. . . . .01 2 3 45 6 7 8123 31 1 n y 2.7
一个线性时不变系统的冲激响应如图 图 7 P2.7 所示，求出并画出该系统对输入] 4 [ ] [ n u n u 的响应。
图P2.70 1 2 34 5
解：已知系统（LTI）的 ] [n h 如题图 P2.7 所示,当输入 ] 4 [ ] [ n u n u 时，设输出序列为 ] [n y ,
] 8 [ 2 ] 7 [ 4 ] 6 [ 3 ] 5 [ 2 ] 4 [] [ ] [] [ ] [] [ ] [ ] [50 n n n n nm n x m hm n x m hn h n x n ymm
4 5 6 7 8 9 312342输出序列y[n] 2.8
一个离散时间时不变系统的冲激响应是 ] [n h ，若输入] [n x是一个周期序列，周期为 N ，即] [ ] [ N n x n x 。证明：输出也是一个周期序列，周期为 N 。
证明：对于 LTI 系统，当 ] [ ] [ n x N n x 时：
] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ n y k h k n x k h k N n x N n yn n 。
结论得证。
2.9 一个线性时不变系统冲激响应为
, 0 , 0, 0 , 1nnn h
n u 。
求该系统对输入 n x 的响应。
n x 如图 P2.9 所示，并描述如下：
1 0. , 0, ,, , 0, 0 ,, 0 , 02 11 2 22 112 an N NN N n N aN n NN n ann xN nn
........ ............1N2N2 1N N na 2N na... ...0n
图 P2.9 解: 当 n < 0 , 0 0 n x n h 时，
0 n y
当 k x N n 时，10 10 , N k a k n hk
;1) 1 ( 21 1111,;121 1111;11, 0;111 1 1 12 11 1 1 1 12 1 2102 1011 2 1 221 2 12212 1 2212211 1aaaa aaaaaaan yN N naa aaa aaaaaaan yN N n Naaa n yk x N n Naaa n yN N N NNN N NN kN nNN n N n NNNnN KN nNN NKknknk 时 当时， 当时， 当
. ,11 2; ,12; ,11; 0 ,11; 0 , 02 112 1 21 12 111111 11n N NaaN N n Naa aN n NaaN naann yNN n NNn 2.10 a 已知一个线性时不变系统的冲击响应除去在区间1 0N n N 内均为零.已知输入 3 2N n N n x 除去在区间 内均为零.其结果就是输出除去某一区间5 4N n N 内都为零.试用5 4 3 2 1 0, , , , N N N N N N 来确定 .
n x b 若 除N个连续点外都为零, n h 除M个连续点外也都是零,试问对 n y 不为零的最大连续点数是多少? 解:（a）3 0 4N N N
2 1 5N N N
（b）N+M-1 2.11 按卷积和直接计算，求冲激响应为 ] [n h 的线性时不变系统的阶跃响应，
] [ ] [ n u a n hn ， 1 0 a 。
解: 1 0 ], [ ] [ a n u a n hn
] [ ] [ ] [ n h n u n y 为系统的阶跃响应
mm n x m h ] [ ] [
] [0m n u amm
a 11
是常数序列。
] [n y
2.12 证明：线性时不变系统的因果性，就是要求系统的冲激响应满足条件，当0 n时，0 ] [ n h。提示：可先证明如果0 n时 0 ] [ n h 的话，系统不可能是因果的；然后再证明如果0 n时 0 ] [ n h 的话，系统必定是因果的。
证明：对于 LTI 系统，恒有 n nk n h k x k h k n x n y ] [ ] [ ] [ ] [ ] [。
必要性：
利用 nk h k n x n y ] [ ] [ ] [。
若系统因果，则必然有] [ k n x 在时间上超前或同步于] [n y，即n k n ，0 k。即当0 k时，必有0 ] [ n h。必要性得证。
充分性：
利用 nk n h k x n y ] [ ] [ ] [。
当 0 k n时0 ] [ k n h。
] [n y可以看为在 n 时刻点之前的] [n x得线性叠加。
即充分性得证。
2.13
在2.5节中曾提到，13 在 2.5 节中曾提到，齐次差分方程
00 nkh kk n y a
（P2.13-1）
的解具有如下形式
Nmnm m hz A n y1，
（P2.13-2）
式中mA 是任意的，mz 是下列多项式的根
Nkkk za00 ，
（P2.13-3）
也即
Nkkk za0 111 z z mNm。
（P2.13-4）
（a）
求下列查分方程齐次解的一般形式
1 2 281143 n x n y n y n y
。（P2.13-5）
（b）
若 0 1 y ， 0 0 y ，求齐次解中的系数mA 。
（c）
现在考虑如下差分方程 1 2 2411 n x n y n y n y 。（P2.13-6）
如果齐次解中仅包含式（P.2.13—2）中的...
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